Компетенції з геометрії в MS Excel

10.Створити в MS Excel на Аркуш 10 формулу(функцію), що за кількістю  непаралельних прямих на одній площині ,  знаходить кількість  утворених точок перетину цих прямих, при умові, що кожна точка перетину прямих утворена не більше, ніж двома прямими. Протабулювати цю функцію для  n ={4;5;6;7;8;9;10;11;12;13;14}.  Створити за даними таблиці лінійну діаграму з назвою: «Кількість точок площини, що утворена непаралельними  прямими».

Розв’язання. Якщо зафіксуємо деяку точку перетину  двох прямих, тоді  тільки  деякі дві прямі із  n непаралельних прямих  одну точку..  Таких  тосок порахувати, використовуючи комбінації  С _n², Кожна пара прямих утворює точку перетину .  Формула кількості точок перетину n непаралельних прямих має вигляд:  k(n)=  (n-1)n/2 , де n - натуральне число, більше 1.

11.Створити в MS Excel на Аркуш 11  формулу(функцію), що за кількістю  непаралельних прямих на площині    знаходить кількість  утворених частин площини, при умові, що кожна точка перетину прямих утворена не більше, ніж двома прямими. Протабулювати цю функцію для  n ={4;5;6;7;8;9;10;11;12;13;14}.  Створити за даними таблиці лінійну діаграму з назвою: «Кількість частин площини, що утворена прямими».

Розв’язання. Якщо зафіксуємо деяку точку перетину  двох прямих, тоді  тільки  деякі дві прямі із  n непаралельних прямих  одну точку.  Таких  точок можна порахувати, використовуючи комбінації  С _n², Кожна пара прямих утворює точку перетину .  Формула кількості точок перетину n непаралельних прямих має вигляд:  k(n)=  (n+1)n/2 +1, де n - натуральне число.

12.Створити в MS Excel на Аркуш 12  формулу(функцію), що за кількістю  непаралельних площин  у прострі   знаходить кількість  утворених частин простору, при умові, що кожна пряма  перетину площин  утворена не більше, ніж двома площинами. Протабулювати цю функцію для  n ={4;5;6;7;8;9;10;11;12;13;14}.  Створити за даними таблиці лінійну діаграму з назвою: «Кількість частин простору, що утворена площинами».

Розв’язання.  Формула кількості частин  n непаралельних площинами загального положення має вигляд:  k(n)=  (n+1)(n²-n+6)/6, де n - натуральне число.

13.Створити в MS Excel на Аркуш 13  формулу(функцію), що за кількістю сторін  правильного n-кутника на площині  знаходить кількість  осьових симетрій фігури у просторі. Протабулювати цю функцію для  n ={4;5;6;7;8;9;10;11;12;13;14}.  Створити за даними таблиці лінійну діаграму з назвою: «Кількість осьових симетрій у просторі для правильного n-кутника на площині».

Розв’язання.  Формула кількості осей симетрій  у просторі правильного n-кутника на площині має вигляд:  k(n)=  n+1, де n - натуральне число, більше 2.

14.Створити в MS Excel на Аркуш 14  формулу(функцію), що за заданими n точками  на площині, знаходить кількість  відрізків між ними. Протабулювати цю функцію для  n ={4;5;6;7;8;9;10;11;12;…;24}.  Створити за даними таблиці лінійну діаграму з назвою: «Кількість відрізків на площині».

Розв’язання.  Формула кількості відрізків  за заданими n точками  на площині,  знаходить кількість  відрізків між ними має вигляд:  k(n)=  (n-1)n/2 , де n - натуральне число.

15.Створити в MS Excel на Аркуш 15  формулу(функцію), що за заданими n точками  на площині, знаходить кількість трикутників  утвореними цими точками-вершинами трикутників. Протабулювати цю функцію для  n ={4;5;6;7;8;9;10;11;12;…;18}.  Створити за даними таблиці лінійну діаграму з назвою: «Кількість трикутників на площині».

Розв’язання.  Формула кількості відрізків  за заданими n точками  на площині,  знаходить кількість  відрізків між ними має вигляд:  k(n)=  (n-2)(n-1)n/6 , де n - натуральне число, не менше 3.

16.Створити в MS Excel на Аркуш 16  формулу(функцію), що за заданими n точками  на площині, знаходить кількість будь-яких чотирикутників  утвореними цими точками-вершинами чотирикутників. Протабулювати цю функцію для  n ={4;5;6;7;8;9;10;11;12;…;18}.  Створити за даними таблиці лінійну діаграму з назвою: «Кількість будь-яких чотирикутників на площині».

Розв’язання.  Формула кількості відрізків  за заданими n точками  на площині,  знаходить кількість  відрізків між ними має вигляд:  k(n)=  (n-3)( (n-2 )(n-1)n/24 , де n - натуральне число, не менше 3.

17. Створити в MS Excel на Аркуш 17  формулу(функцію), що за заданими n –вершинами  випуклого багатокутника на площині,  які утворені перетином не більше двох діагоналей, знаходить кількість будь-яких внутрішніх частин  утвореними діагоналями і сторонами багатокутника. Протабулювати цю функцію для  n ={4;5;6;7;8;9;10;11;12;…;18}.  Створити за даними таблиці лінійну діаграму з назвою: «Кількість будь-яких чотирикутників на площині».

Розв’язання.  Формула кількості будь-яких внутрішніх частин  утвореними діагоналями і сторонами випуклого багатокутника за заданими n вершинами цього багатокутника на площині має вигляд:  k(n)= (n-2)( (n-1 )(n²-3 n +12)/24 , де n - натуральне число, не менше 3.

18. Створити в MS Excel на Аркуш 18  формулу(функцію), що за заданими n – точками на площині знаходить кількість будь-яких  k-ланкових ламаних (2<k<=n) утвореними цими точками, як вершинами ламаних. Протабулювати цю функцію для  n ={4;5;6;7;8;9;10;11;12;…;18}.  Створити за даними таблиці лінійну діаграму з назвою: «Кількість ламаних на площині».

Розв’язання.  Формула кількості будь-яких  k-ланкових випуклого багатокутника за заданими n вершинами  площині має вигляд:  k(n)= 2ⁿ , де n - натуральне число, не менше 3.

19. Створити в MS Excel на Аркуш 19  формулу(функцію), що за заданими n  нефарбованими  неспівпадаючими точками на площині і k фарбами,  знаходить кількість способів   розфарбувань усіх цих точок.  Протабулювати цю функцію для  n ={4;5;6;7;8;9;10;11;12;…;18},  якщо k =4. Створити за даними таблиці лінійну діаграму з назвою: «Кількість чотирикольорових розфарбувань точок  на площині».

Розв’язання.  Формула кількості способів  розфарбувань  k  ф арбами  заданих  n точками на  площині має вигляд:  m(n; k)= kⁿ , де n, k - натуральне число.

20. Створити в MS Excel на Аркуш 20  формулу(функцію), що за заданими n  триколірних світлофорів у неспівпадаючих  точках  на площині,  знаходить кількість способів   включень в усіх цих точках світлофорів, враховуючи, що світлофори ніколи не вимикаються .  Протабулювати цю функцію для  n ={4;5;6;7;8;9;10;11;12;…;18}.  Створити за даними таблиці лінійну діаграму з назвою: «Кількість способів вмикання світлофорів».

Розв’язання.  Формула кількості способів  розфарбувань  трьома  фарбами  заданих  n точок  на  площині має вигляд:  m(n)= 3ⁿ , де n - натуральне число.

___________

 Створити  в MS Excel на Аркуш 21  формулу(функцію)  для  автомата,   що розмінює кошти  довільної суми в цілих гривнях(без копійок), починаючи з 8 грн на номінали по 3 грн та по 5 грн. Функція-автомат  виводить для довільного числа N, що більше 7, два натуральні числа:   перше  натуральне число – це кількість номіналів по 3 грн, друге натуральне число – це кількість номіналів по 5 грн. Протабулювати цю функцію для  n ={4;5;6;7;8;9;10;11;12;….;24}.  Створити за даними таблиці лінійну діаграму з назвою: «Кількість осьових симетрій у просторі для правильного n-кутника на площині».

Розв’язання. 

Розглянемо базу індукції

8 грн  =3 грн+5 грн,

9 грн=3 грн+3 грн +3 грн,

10 грн =5 грн +5 грн.

Якщо  до 8 грн, або до 9 грн, або до 10 грн додати 3 грн, то отримаємо кошти

11 грн  =3 грн+5 грн +3 грн

12  грн=3 грн+3 грн +3 грн +3 грн

13 грн =5 грн +5 грн +3 грн.

Продовжуючи аналогічно можна отримати будь-яке наступне натуральне число.

Отже, якщо  N = 3р+ 2, тоді  

N = 8 грн +3k грн  =3 грн+5 грн +3k грн  = 3(k+1)+ 5 грн. Звідси маємо

k= (n-5)/3  - 1– це кількість номіналів по 3 грн.    

Отже, якщо  N = 3р , тоді  

N = 9 грн +3k грн  =3 грн+3 грн  +3 грн +3k грн  = 3(k+3)  грн.

Звідси маємо

k= n/3 - 9– це кількість номіналів по 3 грн.

Отже, якщо  N = 3р+1 , тоді  

N = 10 грн +3k грн  =5 грн+5 грн  +3k грн  = 3k +5*2  грн.  Звідси маємо

k= (n-10)/3 – це кількість номіналів по 3 грн.

Створимо  функцію-автомат : А(N) = (k₃(N); m₅(N)), де k₃(N) – це функція кількості номіналів по 3 грн  для числа N,  m₅ (N) - це функція кількості номіналів по 5 грн  для числа N. Згідно попередніх міркувань, отримаємо:

А(N) = ((N -5)/3  - 1; 1),  якщо  N = 3р+ 2;

А(N) = (N/3; 0),  якщо  N = 3р;

А(N) = ( (N-10)/3; 2),  якщо  N = 3р+1.